Hayatı
Kurt Gödel (28 Nisan 1906 - 14 Ocak 1978), mantıkçı, matematikçi ve matematik felsefecisidir. Kendi ismiyle anılan Gödel'in Eksiklik Teoremi ile tanınır.
Teoremlerinde tam sayı aritmetiğini içerecek kadar karmaşık herhangi bir sistemin içinde, sistemin aksiyomlarından yola çıkarak doğruluğu veya yanlışlığı kanıtlanamayacak önermeler bulunacağını ispatlamıştır. Bunun için ise Gödel numaralandırması ismi verilen bir metod geliştirmiştir. Meşhur teoremini Viyana Üniversitesindeki doktora çalışması sırasında 1931 yılında ispatlamış, bununla 20. yüzyıl matematiğinin yönünü değiştirmiştir.
1940'larda Princeton Üniversitesi İleri Araştırmalar Enstitüsünde Kurt Gödel, Einstein’ın kütle çekimi alanı denklemlerine, ekseni etrafında dönen bir evreni tanımlayan bir çözüm getirdi. Evrenin dönüşü ışığı (ve dolayısıyla cisimler arsındaki nedensellik bağlarını da) birlikte sürükleyecekti. Dolayısıyla maddi cisimde, ışık hızını aşmaya gerek kalmaksızın uzayda ve zamanda kapalı bir halka çizecekti. Gödel’in modeli, zamanda geriye gitmenin görelilik kuramınca yasaklanmadığını ortaya koydu. Kurt Gödel, Einstein'ın alan denklemlerini kullanarak, bir evren modeli tasarladı. Tasarım Einstein'ınkine benziyordu ama Gödel'in yaklaşımında kozmolojik sabitlere negatif bir değer veriliyordu. Einstein da kuramının bazı durumlarda geçmişe yolculuğa izin verdiği düşüncesinden rahatsızlık duyduğunu ifade etmiştir. Yalnız Gödel'in bu modeli gökbilimcilerin gözlemlediği kütleçekimsel kızıla kayma tarafından yanlışlanmaktadır.
İçine kapanık bir kişiliği olan Gödel, son yıllarında zehirleneceği paranoyasına kapılarak hiçbir şey yememeye başlamış, bunun sonucunda beslenme eksikliğinden 14 Ocak 1978'de Princeton'da ölü bulunduğunda cenin pozisyonundaydı ve sadece 29.5 kiloydu.
Eksiklik Teorisi
Kurt Gödel'in 1931 yılında doktorasında verdiği "Principia Mathematica Gibi Dizgelerin Biçimsel Olarak Karar Verilemeyen Önermeleri Üzerine" başlıklı makalesinde 4. önerme olarak geçer. Sezgisel olarak matematikte belitlere (aksiyom) dayanan her sistemin tutarlı olması dahilinde eksik olması gerektiğini bildirir. Gödel'in ifadesiyle:
"Her ?-tutarlı yinelgen tamdeyimler sınıfı K'ya öyle yinelgen r sınıf-imleri tekabül eder ki, bu durumda, ne vGnr ne de ~(vGnr), Flg(K)'ya ait olur (Burada v, r'nin bağsız değişken idir)."
Daha Türkçe bir anlatımla:
"Sayı Kuramı nın bütün tutarlı ilksavlı formülasyonları karar verilemeyen önermeler içerir."
Bu önermeyi biraz açacak olursak, tutarlı biçimsel bir dizge (sistem) kurallara ve belitlere dayanıyorsa bu dizge kesinlikle karar verilemeyen (ne doğru ne de yanlış olduğu kanıtlanabilen) önermeler içerecektir. Gödel'in ikinci teoremi, her biçimsel dizgenin sayılar kuramına eşbiçimli (izomorfik) olduğunu söyler. Bu durumda bu teoremle, Sayı Kuramı nın her formülasyonunun eksik olması gerektiği kanıtlanmıştır.
Bu karar verilemeyen önermeler için en çok bilinen örnekler; (sayılar kuramında) Seçim Beliti, (geometride) Pararlellik Beliti, (mantıkta) Eubulides Paradoksu, vs...
En çarpıcı ve yalın olanı Eublides paradoksudur. "Bu önerme yanlıştır" önermesi karar verilemez bir önermedir. Önerme yanlış olduğu varsayılırsa doğru olduğunu ama doğru olduğu varsayılırsa yanlış olduğunu gösteriyor. Bu tür kendi hakkında konuşan önermelere "kendine-göndergeli önerme" terimi ilk Douglas R. Hofstadter 1989'da Türkiye'de Kabalcı yayınlarından çıkan "Gödel, Escher, Bach" kitabında kullanmıştır.
Pek açık olmayan bir örnek ise Paralellik Belitidir. Euclides (Öklit) M.Ö. 300'de yazmış olduğu ve hala geçerli olan geometri kitabı Elementler de tüm geometriyi sezgisel olarak 5 belite dayandırır. Bu 5 belitten sonuncusunun diğer dördünden farklı olduğu göze çarpmış ve matematikçiler bu beliti kanıtlamak için çok uğraşlar vermişlerdir ama kimse başaramamıştır. Daha sonra Lobachevsky, Bolyai ve gizlice Gauss birbirlerinden habersiz bu 5. belitin tersinin alınarak da başka bir geometriye ulaşılabileceğini gösterdirler. Belit Playfair'in versiyonuyla "Bir doğrunun dışındaki bir noktadan geçen ve o doğruya paralel olan sadece ve sadece bir doğru bulunur." önermesidir. Bu önermenin tersi olan "... en az iki doğru bulunur" önermesi Hiperbolik Geometri (ya da Lobachevsky-Bolyai-Gauss Geometrisi) diye yeni bir geometriye kapı açmıştır.
Bu örnekle Gödel'in bu teoreminin aslında matematikte dizgeleri (sistemleri) dallara ayırarak yeni kapılar araladığı görülebilir.
Gödel, bu teoremle Hilbert'in Programı 'nda sorduğu "Matematik tam mıdır?" sorusuna hayır yanıtını verir. Hilbert, Matematiğin her problemini bir bilgisayar programıyla elde edip çözüme ulaştırabilme inancını taşıyordu. Gödel bunu kendi teoremiyle çürütmüştür.
(http://tr.wikipedia.org adresinden alınmıştır)
Kurt Gödel (28 Nisan 1906 - 14 Ocak 1978), mantıkçı, matematikçi ve matematik felsefecisidir. Kendi ismiyle anılan Gödel'in Eksiklik Teoremi ile tanınır.
Teoremlerinde tam sayı aritmetiğini içerecek kadar karmaşık herhangi bir sistemin içinde, sistemin aksiyomlarından yola çıkarak doğruluğu veya yanlışlığı kanıtlanamayacak önermeler bulunacağını ispatlamıştır. Bunun için ise Gödel numaralandırması ismi verilen bir metod geliştirmiştir. Meşhur teoremini Viyana Üniversitesindeki doktora çalışması sırasında 1931 yılında ispatlamış, bununla 20. yüzyıl matematiğinin yönünü değiştirmiştir.
1940'larda Princeton Üniversitesi İleri Araştırmalar Enstitüsünde Kurt Gödel, Einstein’ın kütle çekimi alanı denklemlerine, ekseni etrafında dönen bir evreni tanımlayan bir çözüm getirdi. Evrenin dönüşü ışığı (ve dolayısıyla cisimler arsındaki nedensellik bağlarını da) birlikte sürükleyecekti. Dolayısıyla maddi cisimde, ışık hızını aşmaya gerek kalmaksızın uzayda ve zamanda kapalı bir halka çizecekti. Gödel’in modeli, zamanda geriye gitmenin görelilik kuramınca yasaklanmadığını ortaya koydu. Kurt Gödel, Einstein'ın alan denklemlerini kullanarak, bir evren modeli tasarladı. Tasarım Einstein'ınkine benziyordu ama Gödel'in yaklaşımında kozmolojik sabitlere negatif bir değer veriliyordu. Einstein da kuramının bazı durumlarda geçmişe yolculuğa izin verdiği düşüncesinden rahatsızlık duyduğunu ifade etmiştir. Yalnız Gödel'in bu modeli gökbilimcilerin gözlemlediği kütleçekimsel kızıla kayma tarafından yanlışlanmaktadır.
İçine kapanık bir kişiliği olan Gödel, son yıllarında zehirleneceği paranoyasına kapılarak hiçbir şey yememeye başlamış, bunun sonucunda beslenme eksikliğinden 14 Ocak 1978'de Princeton'da ölü bulunduğunda cenin pozisyonundaydı ve sadece 29.5 kiloydu.
Eksiklik Teorisi
Kurt Gödel'in 1931 yılında doktorasında verdiği "Principia Mathematica Gibi Dizgelerin Biçimsel Olarak Karar Verilemeyen Önermeleri Üzerine" başlıklı makalesinde 4. önerme olarak geçer. Sezgisel olarak matematikte belitlere (aksiyom) dayanan her sistemin tutarlı olması dahilinde eksik olması gerektiğini bildirir. Gödel'in ifadesiyle:
"Her ?-tutarlı yinelgen tamdeyimler sınıfı K'ya öyle yinelgen r sınıf-imleri tekabül eder ki, bu durumda, ne vGnr ne de ~(vGnr), Flg(K)'ya ait olur (Burada v, r'nin bağsız değişken idir)."
Daha Türkçe bir anlatımla:
"Sayı Kuramı nın bütün tutarlı ilksavlı formülasyonları karar verilemeyen önermeler içerir."
Bu önermeyi biraz açacak olursak, tutarlı biçimsel bir dizge (sistem) kurallara ve belitlere dayanıyorsa bu dizge kesinlikle karar verilemeyen (ne doğru ne de yanlış olduğu kanıtlanabilen) önermeler içerecektir. Gödel'in ikinci teoremi, her biçimsel dizgenin sayılar kuramına eşbiçimli (izomorfik) olduğunu söyler. Bu durumda bu teoremle, Sayı Kuramı nın her formülasyonunun eksik olması gerektiği kanıtlanmıştır.
Bu karar verilemeyen önermeler için en çok bilinen örnekler; (sayılar kuramında) Seçim Beliti, (geometride) Pararlellik Beliti, (mantıkta) Eubulides Paradoksu, vs...
En çarpıcı ve yalın olanı Eublides paradoksudur. "Bu önerme yanlıştır" önermesi karar verilemez bir önermedir. Önerme yanlış olduğu varsayılırsa doğru olduğunu ama doğru olduğu varsayılırsa yanlış olduğunu gösteriyor. Bu tür kendi hakkında konuşan önermelere "kendine-göndergeli önerme" terimi ilk Douglas R. Hofstadter 1989'da Türkiye'de Kabalcı yayınlarından çıkan "Gödel, Escher, Bach" kitabında kullanmıştır.
Pek açık olmayan bir örnek ise Paralellik Belitidir. Euclides (Öklit) M.Ö. 300'de yazmış olduğu ve hala geçerli olan geometri kitabı Elementler de tüm geometriyi sezgisel olarak 5 belite dayandırır. Bu 5 belitten sonuncusunun diğer dördünden farklı olduğu göze çarpmış ve matematikçiler bu beliti kanıtlamak için çok uğraşlar vermişlerdir ama kimse başaramamıştır. Daha sonra Lobachevsky, Bolyai ve gizlice Gauss birbirlerinden habersiz bu 5. belitin tersinin alınarak da başka bir geometriye ulaşılabileceğini gösterdirler. Belit Playfair'in versiyonuyla "Bir doğrunun dışındaki bir noktadan geçen ve o doğruya paralel olan sadece ve sadece bir doğru bulunur." önermesidir. Bu önermenin tersi olan "... en az iki doğru bulunur" önermesi Hiperbolik Geometri (ya da Lobachevsky-Bolyai-Gauss Geometrisi) diye yeni bir geometriye kapı açmıştır.
Bu örnekle Gödel'in bu teoreminin aslında matematikte dizgeleri (sistemleri) dallara ayırarak yeni kapılar araladığı görülebilir.
Gödel, bu teoremle Hilbert'in Programı 'nda sorduğu "Matematik tam mıdır?" sorusuna hayır yanıtını verir. Hilbert, Matematiğin her problemini bir bilgisayar programıyla elde edip çözüme ulaştırabilme inancını taşıyordu. Gödel bunu kendi teoremiyle çürütmüştür.
(http://tr.wikipedia.org adresinden alınmıştır)
14:19 |
Category: |
0
yorum
Comments (0)